Comment retrouver le nombre d'or dans l'ensemble de Mandelbrot ?

Vous allez sur cette page, après quelques observations guidées, constater de vous-même la présence du nombre d'or dans l'ensemble de Mandelbrot.

Vocabulaire et convention utilisés ici

Chacun a ses propres repères pour visiter l'ensemble de Mandelbrot :

L'ensemble de Mandelbrot, qu'on ne présente plus, est souvent vu comme un gros bonhomme, avec une tête, un ventre, deux bras, un cou, etc...

Cette façon de voir est bien pratique pour se repérer dans le monde imaginaire que représente l'ensemble de Mandelbrot, en utilisant nos connaissances du monde réel. Mais seulement voila : lorsqu'on zoome sur les frontières de Mandelbrot, on s'aperçoit par exemple que la tête principale est elle-même constituées de plusieurs petites têtes (les "oreilles"), qui possèderont à leur tour de nouvelles têtes (qu'on ne pourra plus définir par analogie avec le corps humain) sur leur frontières, et ce, à l'infini. Donc plutôt que de parler de tête, de cou, de bras et de jambes pour se repérer dans l'ensemble de Mandelbrot, je vais parler ici uniquement de têtes, mais je vais attribuer un numéro à chacune des têtes que nous allons explorer dans notre expérience. Une "tête" est donc une boule ayant pris naissance sur une frontières de l'ensemble de Mandelbrot.

J'appelle tête numéro 1 la tête la plus grande de l'ensemble de Mandelbrot, c'est à dire la tête principale du "bonhomme" située à gauche.

La tête numéro 2 sera la tête située sur le haut de l'ensemble de Mandelbrot (elle correspond à ce qu'on aurait pu appeler "un bras du bonhomme").

L'image suivante montre concrètement les têtes n°1 et n°2 sur l'ensemble de Mandelbrot complet :


La tête n°3 est la plus grosse tête entre les têtes n°2 et n°1

Un fois qu'on a définit les deux premières têtes, il est très facile de repérer toutes les autres têtes. Il faut pour cela appliquer le principe de repérage suivant, donné ici pour la tête n°3, mais que nous appliquerons pour les autres têtes :

La tête n°3 est la plus grosse tête située entre la tête n°2 et la tête n°1

L'image ci-dessus montre la tête n°3 sur l'ensemble de Mandelbrot complet. Ce principe de repérage permet de repérer une tête en fonction des 2 têtes précédentes.

Plus une tête est petite, plus il faudra faire de zooms pour aller l'explorer, et plus son numéro sera grand. 

Remarque : toutes les illustrations de l'ensemble de Mandelbrot exposées ici ont été réalisées avec le logiciel GECIF. Si vous aussi vous voulez partir à la découverte de l'ensemble Mandelbrot en faisant des zooms sur ses frontières, pour constater de vous-même certaines particularités, ou observer des têtes non présentes ici, il vous suffit de télécharger gratuitement GECIF en cliquant ici.

 

Nous allons maintenant, en un premier temps repérer les têtes jusqu'à la tête n°8, puis nous les observerons ensuite expérimentalement en analysant certaines particularités, qui vont nous permettre de conclure que le nombre d'or est présent dans la construction naturelle de l'ensemble de Mandelbrot.

 

Repérage des têtes n°1 à n°8

Faisons un zoom entre les têtes n°1 et n°2, et appliquons notre principe de repérage :


La tête n°4 est la plus grosse tête entre les têtes n°3 et n°2

 

Faisons un zoom entre les têtes n°2 et n°3 :


La tête n°5 est la plus grosse tête entre les têtes n°4 et n°3

 

Faisons un zoom entre les têtes n°3 et n°4 :


La tête n°6 est la plus grosse tête entre les têtes n°5 et n°4

 

Faisons un zoom entre les têtes n°4 et n°5 :


La tête n°7 est la plus grosse tête entre les têtes n°6 et n°5

 

Et enfin, faisons un dernier zoom entre les têtes n°5 et n°6 :


La tête n°8 est la plus grosse tête entre les têtes n°7 et n°6

 

Maintenant, grâce au logiciel GECIF, vous pouvez facilement aller voir en gros plan les têtes n°1 à n°8, mais aussi toutes les têtes suivantes, en utilisant toujours le même principe de repérage.

 

Le repérage des têtes étant terminé, passons maintenant à l'observation expérimentale de certaines de ces têtes.

 

Analyse des têtes n°2 à n°7
à la recherche du nombre d'or

 

Chaque tête possède à son sommet une antenne principale, qui se divise en différentes branches. Par exemple, la tête ci-dessous possède 5 branches au total (en comptant l'antenne principale) :


Cette tête possède 5 branches : c'est une tête d'ordre 5

Le nombre total de branches d'une tête (en comptant l'antenne principale comme une branche) est appelé l'ordre de la tête.

Examinons maintenant chacune des têtes, de la tête n°2 à la tête n°7 :

 

La tête n°2 :


Tête n°2

La tête n°2 possède 3 branches en tout : c'est une tête d'ordre 3. Parmi toutes les branches d'une tête, il y aura toujours une branche plus courte que toutes les autres. Si on compte les branches dans le sens des aiguilles d'une montre, en comptant l'antenne principale en dernier comme indiqué sur l'image ci-dessus, alors :

On remarque sur l'image ci-dessus que la tête n°2 a un rang égal à 2 (car sa branche la plus courte porte le numéro 2).

 

La tête n°3 :

Voici un zoom de la tête n°3. Numérotons toutes ses branches, dans le sens des aiguilles d'une montre et en finissant par l'antenne principale, dans le but d'en déterminer son ordre et son rang :


Tête n° 3

On remarque que la tête n°3 a 5 branches en tout, et que la branche la plus courte porte le numéro 3. On en déduit donc que :

Remarque : le sens de comptage des branches dépend de "l'hémisphère" à laquelle appartiennent les têtes : si, dans l'ensemble de Mandelbrot,  on a pris les têtes dans "l'hémisphère nord" (c'est-à-dire dans la moitié haute de l'ensemble de Mandelbrot), alors il faut compter les branches dans le sens des aiguilles d'une montre. Mais si on prend les têtes dans "l'hémisphère sud" (c'est-à-dire dans la moitié basse de l'ensemble de Mandelbrot), il faudra alors compter les branches dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (toujours en finissant par l'antenne principale) pour déterminer le rang de la tête.

Comme dans toutes les illustrations de cette page j'ai pris les têtes dans la moitié haute de l'ensemble de Mandelbrot, il faut ici compter les branches dans le sens horaire.

 

La tête n°4 :

Passons maintenant à la tête n°4. On remarque que plus le n° de la tête augmente, plus la tête possède de branches, et plus le motif représenté par l'ensemble des branches est complexe.


Tête n°4

Comme la branche la plus courte porte le numéro 5, le rang de la tête n°4 est 5.

Comme l'antenne principale porte le numéro 8, l'ordre de la tête n°4 est 8.

 

La tête n°5 :


Tête n°5

Sur cette illustration, on remarque que la tête n°5 est une tête de rang 8 et d'ordre 13.

 

La tête n°6 :

Voici un zoom de la tête n°6 et surtout de toutes ses branches. Comme le nombre de branches commence à être important, et que les branches sont de plus en plus complexes et fournies, nous allons faire un zoom sur le haut de cette première image, pour bien voir ce qu'il se passe entre les branches 8 et 16.


Tête n°6

 


Zoom sur le haut des branches de la tête n°6

On remarque, grâce au zoom, que la branche la plus petite est la branche n°13. Et comme la tête n°6 a 21 branches au total, on en déduit que :

 

La tête n°7 :

Et enfin, examinons la tête n°7. Là encore, un zoom est indispensable pour déterminer le numéro de la branche la plus courte, mais aussi pour déterminer le nombre total de branches :


Tête n°7

 


Zoom sur le haut des branches de la tête n°7

Grâce au zoom effectué entre les branches 13 et 26, en constate sans ambiguïté que la branche la plus courte de la tête n°7 est la branche 21, et que cette tête possède 34 branches au total. On peut donc dire que :

 

Récapitulation des résultats

Récapitulons l'ensemble des résultats de ces observations expérimentales dans un tableau :

N° de la tête Rang de la tête Ordre de la tête
2 2 3
3 3 5
4 5 8
5 8 13
6 13 21
7 21 34

On remarque que le rang et l'ordre des têtes de l'ensemble de Mandelbrot forment deux suites de Fibonacci, c'est à dire des suites de nombres où chaque terme est égal à la somme des deux termes précédents. On peut donc en déduite le rang et l'ordre des têtes n°8, n°9, n°10, etc... sans les avoir observées :

N° de la tête Rang de la tête Ordre de la tête
1 1 2
2 2 3
3 3 5
4 5 8
5 8 13
6 13 21
7 21 34
8 34 55
9 55 89
10 89 144
11 144 233
12 233 377
13 377 610
14 610 987
15 987 1597
16 1597 2584
17 2584 4181
18 4181 6765
etc ... etc ... etc ...

 

Si on appelle Fn les termes de la suite de Fibonacci avec F1 le premier terme et F1=F2=1, on peut remarquer que :

Et le nombre d'or dans tout ça ?

Le rang et l'ordre d'une tête étant deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci, nos observations nous permettent maintenant d'affirmer que :

 

Le rapport entre l'ordre et le rang d'une tête de l'ensemble de Mandelbrot, tend vers le nombre d'or lorsque le numéro de la tête tend vers l'infinie.

 

Ou encore :

 

Autrement dit, pour une tête dont le numéro est suffisamment grand, on peut écrire que :

l'ordre = le rang x le nombre d'or

 

L'ensemble de Mandelbrot complet est donc construit autour du nombre d'or.

 

 

Liens pour aller encore plus loin :

Comme la tête n°8 a encore plus de branches que la tête n°7, 5 photos sont utilisées en tout pour l'analyser correctement, et pour en déterminer son rang et son ordre. J'ai donc mis l'exploration de la tête n°8 sur une page à part. L'analyse de la tête n°8 de l'ensemble de Mandelbrot nous donne la valeur du nombre d'or, avec 3 chiffres exacts après la virgule (1,618). Si l'exploration de la tête n°8 vous intéresse, cliquez ici

 

Nous venons de voir une manière de retrouver le nombre d'or dans l'ensemble de Mandelbrot, mais il en existe des dizaines d'autres. Si vous voulez voir une seconde solution pour retrouver le nombre d'or dans l'ensemble de Mandelbrot, cliquez ici.

 

 

Comment créer vous-même des images fractales de qualité ?

Les images exposées sur cette page ne sont pas très nettes en raison de la compression JPEG utilisée. En revanche, elles sont rapides à télécharger. Si vous voulez obtenir des images de l'ensemble de Mandelbrot, extrêmement nettes et précises, vous pouvez vous-même créer vos propres images fractales en haute résolution, en utilisant le logiciel GECIF, et en sauvegardant les images obtenues dans un format graphique non destructeur (préférez les formats bitmap PCX ou BMP aux formats destructeurs comme le JPG ou le GIF, ces deux derniers formats ayant été conçus pour enregistrer des photos (floues par définition) et non des images de synthèse (extrêmement nettes) comme les images fractales).

Toutes les illustrations de l'ensemble de Mandelbrot exposées ici ont été réalisées avec le logiciel GECIF que j'ai programmé. Gecif est un véritable microscope électronique, qui permet d'aller voir au cœur des fractales, et d'explorer des milliers de nouveaux mondes jusqu'ici jamais explorés. Si vous aussi vous voulez partir à la découverte de l'ensemble Mandelbrot en faisant des zooms sur ses frontières pour constater de vous-même certains phénomènes, si vous voulez re-calculer en haute résolution certaines photos exposées ici, ou si vous voulez observer des têtes de l'ensemble de Mandelbrot qui ne sont pas présentées sur cette page, il vous suffit de télécharger gratuitement GECIF en cliquant ici. Gecif est un gratuiciel (un "freeware") qui s'adresse à tous ceux qui, comme moi, s'émerveille devant cet objet naturel aux curiosités inépuisables qu'est l'ensemble de Mandelbrot :-))