Le nombre d'or dans la tête n°8 de l'ensemble de Mandelbrot

Nous allons sur cette page déterminer l'ordre et le rang de la tête n°8 de l'ensemble de Mandelbrot, dans le but de trouver la valeur du nombre d'or, avec 3 chiffres après la virgule.

 

Voici une photo de toutes les branches de la tête n°8 :


Photo n°1

Cette photo n°1 nous permet de compter les branches de la 1 à la 8. Au delà de la 8 ème branche, il faudra faire des zooms pour mieux y voir. Pour se repérer entre les différentes photos suivantes, j'appelle A, B, et C les 3 plus grosses branches suivant la branche n°8 (voir la photo n°1). En effectuant différents zooms, on va déterminer les numéros de ces 3 branches A, B et C, ainsi que le rang et l'ordre cette tête n°8.

Nous allons maintenant voir 3 photos représentant des zooms à différents endroits :

 

Faisons un zoom entre la branche 8 et la branche A :


Photo n°2

Sur cette photo n°2, on peut compter les branches entre la 8 et la A. On en déduit que la branche A est la branche n°21. Le zoom suivant va repartir à partir de cette branche 21.

 

Faisons un zoom entre la branche 21 et la branche B :


Photo n°3

Cette photo n°3 est la plus belle de toutes car elle fait apparaître la branche la plus petite, c'est à dire le rang de la tête n°8. Si on compte les branche entre la 21 et la branche B, on s'aperçoit que :

 

Faisons un zoom entre la branche 42 et la branche C :


Photo n°4

Ouf ! Le plus dur est passé !! Sur cette photo n°4 on compte sans difficulté les branches entre la B (branche 42) et la C, et on voit que la branche C est la branche n°50.

 

Et revoici l'ensemble des branches de la tête n°8 :


Photo n°5

Sachant que la branche C est la branche n°50, on peut compter les dernières branches sur la photo globale des branches de la tête n°8 (photo n°5). On constate alors que la tête n°8 a 55 branches au total.

 

Conclusion :

Nous venons de constater expérimentalement que :

Or, 34 est le 9ème nombre de Fibonacci, et 55 est le 10ème nombre de Fibonacci. Pour cette tête n°8, si on calcule le rapport ORDRE / RANG, on obtient :

55 / 34 = 1,618 = le nombre d'or

L'ordre et le rang de la tête n°8 de l'ensemble Mandelbrot nous donnent déjà une valeur du nombre d'or exacte à 3 chiffres après la virgule. Si on analysait les têtes suivantes, le rapport ORDRE/RANG nous donnerait une valeur de plus en plus précise du nombre d'or :

 

N° de la tête
dans l'ensemble
de Mandelbrot
Rapport
Ordre / Rang
pour cette tête
Résultat
1 2 / 1 2
2 3 / 2 1,5
3 5 / 3 1,6667
4 8 / 5 1,6000
5 13 / 8 1,6250
6 21 / 13 1,6154
7 34 / 21 1,6190
8 55 / 34 1,6176
9 89 / 55 1,618182
10 144 / 89 1,617976
11 233 / 144 1,618056
12 377 / 233 1,618026
13 610 / 377 1,618037
14 987 / 610 1,618032787
15 1597 / 987 1,618034448
16 2584 / 1597 1,618033813
17 4181 / 2584 1,618034056
18 6765 / 4181 1,618033963
etc ... etc ... etc ...

La valeur exacte du nombre d'or est 1,618033988749 ...

 

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Les images exposées sur cette page ne sont pas très nettes en raison de la compression JPEG utilisée. En revanche, elles sont rapides à télécharger. Si vous voulez obtenir des images de l'ensemble de Mandelbrot, extrêmement nettes et précises, vous pouvez vous-même créer vos propres images fractales en haute résolution, en utilisant le logiciel GECIF, et en sauvegardant les images obtenues dans un format graphique non destructeur (préférez les formats bitmap PCX ou BMP aux formats destructeurs comme le JPG ou le GIF, ces deux derniers formats ayant été conçus pour enregistrer des photos (floues par définition) et non des images de synthèse (extrêmement nettes) comme les images fractales).

Toutes les illustrations de l'ensemble de Mandelbrot exposées ici ont été réalisées avec le logiciel GECIF que j'ai programmé. Gecif est un véritable microscope électronique, qui permet d'aller voir au cœur des fractales, et d'explorer des milliers de nouveaux mondes jusqu'ici jamais explorés. Si vous aussi vous voulez partir à la découverte de l'ensemble Mandelbrot en faisant des zooms sur ses frontières pour constater de vous-même certains phénomènes, si vous voulez re-calculer en haute résolution certaines photos exposées ici, ou si vous voulez observer des têtes de l'ensemble de Mandelbrot au delà de la tête n°8, il vous suffit de télécharger gratuitement GECIF en cliquant ici. Gecif est un gratuiciel (un "freeware") qui s'adresse à tous ceux qui, comme moi, s'émerveille devant cet objet naturel aux curiosités inépuisables qu'est l'ensemble de Mandelbrot :-))